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考研数学难点深析:三个微分中值定理
2017-11-24
万学海文

  每年考研数学必有一道证明题,分值在10分左右,其中百分之九十涉及到的是微分中值定理及其应用。

  而微分中值定理及其应用最难的就是三个微分中值定理:罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理。它们是考研数学的重难点,现分别从涉及的知识点、考查方式、方法选择、真题链接等四个方面进行分析。

  一、涉及的知识点及考查形式

  可涉及微分中值定理及其应用的知识点有,微分中值定理,洛必达法则,函数单调性的判别,函数的极值,函数图形的凹凸性、拐点及渐近线,函数图形的描绘,函数的最大值与最小值,弧微分(数一、数二要求),曲率的概念(数一、数二要求),曲率圆与曲率半径(数一、数二要求)。

  微分中值定理以间接考查或与其他知识点综合出题的比重很大,也可以直接出题,所以考查形式有多种。如利用导数的几何意义考查函数的特性,讨论导数零点存在性或方程根个数问题,不等式的证明,证明含中值的等式,求极限等。

  二、方法选择

  题目考查微分中值定理,那么选择哪一中值定理成为解题的关键。

  针对题目的特点,可根据如下情况选择对应的微分中值定理:如果结论不包含端点,优先考虑罗尔定理;如果结论中包含端点,则考虑拉格朗日中值定理或柯西定理。那么选择拉式还是柯西定理,需要对结论做进一步的处理,化为定理的标准形式。如第一个标准,左边是只含端点,右边只含中值;第二个标准,左边进一步处理,分子分母减号,一侧只含右端点,一侧只含左端点。整理后,如果分母是端点相减,则选择拉格朗日定理;否则,选择柯西定理。

  三、求解步骤及历年真题解析

  涉及到微分中值定理,一般首先要找辅导函数。针对拉式中值定理和柯西定理,经过对要证明的结论化为标准形式,可直接得出辅助函数。而罗尔定理,需要把结论化为微分方程的一般形式,使用积分因子法可找到。

  有了辅助函数,根据中值定理,列出定理对应的三个条件,得出结论。

  四、小结

 

  三个微分中值定理(条件与结论)的理解及其区别是复习的要点,而方法的选择是解题的关键。三个微分中值定理(条件与结论)的理解及其区别理解透了,才能正确使用方法进行求解。知识点的理解一定要结合一定量的习题才能真正掌握知识点,并应用于考研。

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