新考研大纲如约而至。对考生而言，关注点应从对考纲的关注转到如何更有效地复习上。笔者作为奋战在教学一线的数学老师，考虑到这阶段的同学已经历了基础阶段和暑期的复习，已具备一定基础，也对真题中的题型有一定了解，但未必形成知识体系，重难点也未必完全把握。所以，借助此次与广大考生交流的机会，跨考教育数学教研室刘玮宇老师梳理了高等数学中的重难点，以期给正在全力攀登的考生搭一把手。

　　专题四 一元积分

　　一元积分包括三部分内容：不定积分、定积分和广义积分。下面逐一讨论。

　　1. 不定积分

　　不定积分主要考什么?概念、性质、计算?计算!下面就梳理一下不定积分的计算方法。该方法可总结为"一个基础两个方法"。所谓"一个基础"指：有理函数积分的处理方法;所谓"两个方法"指根式的处理方法和分部积分法。

　　何谓有理函数积分?即被积函数为有理函数的积分。而有理函数即分子分母分别为n次和m次多项式的函数。有理函数积分是整个不定积分计算的基础，因为很多其他类型的积分(如指数有理式积分、三角有理式积分等)可化为有理函数积分。考试直接考有理函数积分的可能性不大，但可能间接考，也就是在计算过程中的某一步用到有理函数积分的处理方法。那如何处理?简单说就是在老旧危房的墙壁上我们经常看到的那个字--拆。如何拆?教材和较权威的辅导书上都有讨论，总结起来有三种情况：被积函数若含有x-a这种一次因子，则被积函数拆出一项A/(x-a)，其中A为待定参数;若含有(x-a)^2这种二次因子，则被积函数拆出两项A/(x-a)+ B/(x-a)^2;若含有x^2+ax+b这种二次因子(该抛物线无零点)，则被积函数拆出一项(Ax+B)/(x^2+ax+b)。

　　接下来，讨论根式的处理。若被积函数含有根号，我们自然想到去根号。如何去根号取决于根号下面表达式的具体形式：如果根号下面是关于x的一次式子，那么整体令成t，就能达到去根号的效果;如果根号下面是关于x的二次式子，要去根号，我们可以考虑通过换元让根号下面整体出现一个平方，这时要借助一些三角恒等式，如根号下面是1-x^2，我们令x=sint就能达到效果;如果根号下面是其他形式，基本思路也是去根号，可类似上面考虑。当然，这里的"换元"更严格的表述是不定积分的换元，注意不光要把被积函数中的变量换掉，还要把微分号中的变量也换成新的积分变量。

　　说着说着就说到了考试的重点内容分部积分了。首先要把分部积分的公式弄清楚，可以这样形式地记忆：被积函数是两个函数的乘积，先把一个函数凑微分(从形式上看就是把这个函数拿到微分号中)，进一步等于新的积分式中的两个函数相乘减去两个函数交换位置。

　　接下来要处理好"何时用"和"怎么用"这两个问题。数学上的道理和生活中的道理是相通的：打游戏时想放大招，若把握不好这两个问题，那就可能出现不该放招时放了大招而该放大招时却没有大招了，也可能出现想放大招却放不出的囧境;打篮球时要用好自己的身体，如果这两个问题处理不好，就可能在不恰当的时间出现在不合适的位置，想为球队做贡献却总是添乱。那么什么时候想到用分部积分法呢?有两个信号(满足其一即可)：1)被积函数是不同类型函数之积;2)被积函数含有对数函数、反三角函数和多项式等求导后比自己简单的函数。

　　如果确定用分部积分法，那么u(x)和v'(x)的选取是个关键问题。如何选?观察分部积分公式，不难发现等号左边有u(x)，而等号右边会出现u'(x)，说明求导后比自己简单的函数适合作为u(x)，如lnx，arctanx和多项式等;另外，等号左边有v'(x)，第一步需要把v'(x)拿到微分号中，说明容易凑微分的函数适合作为v'(x)，如sinx，exp(x)等。

　　考试考不定积分计算主要考察根式的处理和分部积分法。有多种小的类型，如"一箭双雕"型(用变量代换这支箭射下根号和反三角函数这两只雕)，"相互抵消"型(两项单独用分部积分难以算出结果，但在计算过程中这两项能抵消)等。需大量练习才能达到熟练的要求。