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考研数学:暑期急需建构“知识——题型”网络

http://kaoyan.eol.cn  万学海文    2017-07-06    

  暑期是考研学子提高自己的最关键时段,经过了一轮基础阶段的复习,考生已经初步了解并熟悉了考研数学的基本概念、基础理论、基本方法,暑期阶段则要归纳题型,总结解题方法,在头脑里构建一个“知识——题型”的网络表,尽量做到,一提某个知识点,立即反映出该知识点可能出什么题,怎么考察,又该怎么解决,有哪些误区和细节需要注意;一提某类题,立即想到需要哪些知识点解决它,我又没有掌握这些必须的基础方法。

  举例而言,极限一节,基础阶段,我们沿着知识脉络,依次回顾概念、性质、四则运算法则、两个存在准则、两个重要极限、无穷小的概念比阶与等价无穷小代换,这里面,哪些能应用于求极限(比如无穷小代换),哪些是证明极限存在的(单调有界准则),那些用于函数极限计算,哪些用于数列极限计算,大家有所接触但还朦朦胧胧,缺少系统总结。更别说,导数定义求极限和利用定积分定义求极限——这是一元函数微分学和一元函数积分学部分才能接触到的,第一轮复习时,一般都会放到后续章节而非第一章介绍。这样,其实大家对求极限的方法,是支离破碎不成体系的,这是第一轮仅仅沿着知识脉络学习的不可克服的结果。

  而到了强化阶段,你必须做到,一见到求极限的题目立即反映出如下方法:

  函数极限:1)等价无穷小代换;2)罗比达法则;3)泰勒公式法;4)利用导数定义;5)两个重要极限(1∞型的公式)

  数列极限:6)单调有界准则(证明极限存在性);7)夹逼准则;8)定积分定义;9)把数列极限转化为函数极限

  整个考研数学可能用到的解决极限问题的方法,清晰地总结在一起。

  有了框架,往里面填充各种细节,比如罗比达法则,什么时候能用,什么时候不能用;比如泰勒公式,展开时展到几阶,常用的泰勒公式有哪些,自己是否把该记住的公式记住了,该注意的细节透彻了。

  学数学一要刷题,二要总结,盲目刷题,事倍功半,要在做题中体会解题技巧与方法,归纳总结。

  上面说的,是一类题目可能对应多出知识,那么,也可能出现一个知识点,用在不同题目里,就像上面提到的泰勒公式,除了用于求极限,还有什么地方有可能考到泰勒公式?无非就是中值定理证明题可能用到,函数展为幂级数(数一)用到,利用泰勒级数求高阶导用到。在可能考察到该知识点的各类题型中,定理、概念、方法怎么用,怎么去解决问题,要认真总结,比如泰勒公式有带皮亚诺余项的公式,也有带拉格朗日余项的,求极限时显然用前者,中值定理证明题当然用后者,求极限时展到几阶,中值定理证明题什么时候选用泰勒公式而不选用其他中值定理(比如拉格朗日定理)——你会发现,一个点延展开,会与其他好多知识、题型交叉,在你心里,应该是一张清晰的“知识——题型”网络。

  强化阶段的做题,考生应该逐步实现自发到自觉的转变,不再是“朦胧式”的做题,渐渐练习着思考与总结,清楚地知道,一道题,考了什么,做完它需要掌握什么——哪些概念、性质、定理、公式,这些定理公式怎么用,需要什么条件,有没有不能用的时候但命题人挖坑引诱你用,可能出现哪些错解。做题做透,是少做题却收益大的有效手段。

  这样的做题习惯也并非一日之功,大家可以慢慢适应,我认为比较有效的培养方式是:对待错题,用虐待敌人的态度拷问自己。如果一道题,你写了3行做不下去了,看了解析,一共6行,你一定要问自己,第3行到第4行用了什么方法,依据什么定理,还是考了什么概念,自己为啥没想到,卡死在第三行,究竟是为什么,自己回忆自己做题时的所思所想,和正解偏差何在,这样的拷问,有助于迅速补齐自己的弱点。学习就是这样,把自己弱点变强,整体就强了,会的地方再做100遍,无非是提高一点熟练度,不会的搞懂了,会了,那是显著提升。当然,如果你发现自己每次都是卡死在计算上,纯粹是计算力弱,那还是要多刷题增加熟练度的。

  建议同学们,在暑期复习中,逐步钩织“知识——题型”网络,做题时逐步由朦胧而清晰,化弱点为强点,必然可以取得显著地进步。

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